généralité sur l'algebre : 

nombre complexe

POLYNOMES ET fraction rationnelle

les matrices

Espaces vectoriels

algébre 1: fondements de mathématique

Polynômes : Fraction rationnelle

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Anneaux factoriels 

Rappelons que dans l’ensemble des entiers, tout nombre se décompose de façon unique en produit de nombres premiers. C’est ce qu’on appelle parfois le « théorème fondamental de l’arithmétique ». Les anneaux qui ont cette propriété s’appellent anneaux factoriels. Plus précisément : 

Définition :Un anneau commutatif intègre est factoriel si tout élément non nul et non inversible se décompose de façon unique en produit d’irréductibles.

Théorème

Nous sommes maintenant au sommet de la hiérarchie : les anneaux pour lesquels le théorème fondamental de l’arithmétique est vrai sont les anneaux factoriels. Dans le chapitre suivant, on rencontrera des anneaux qui sont factoriels sans être principaux ; ainsi les trois notions anneaux euclidiens, anneaux principaux, anneaux factoriels sont bien distinctes.

Rang 

À partir de ce paragraphe, nous nous limiterons au cas de la dimension finie. C’est dans le cours d’analyse que l’étude de la dimension infinie sera reprise. La bilinéarité d’une forme φ peut se formuler autrement. On définit les deux applications partielles

Matrice congruentes, formes congruentes 

Comme dans le cas des applications linéaires ou des endomorphismes, on peut maintenant se poser un problème de classification des formes bilinéaires. 

• Une forme bilinéaire est donnée : peut-on trouver une base dans laquelle l’écriture de la forme bilinéaire est particulièrement simple ? 

• Comment reconnaître si deux matrices représentent (par rapport à deux bases) la même forme bilinéaire ? 

• Quand deux formes bilinéaires ont-elles la même « signification » géométrique ?

Forme quadratique, cône isotrope

L’inclusion du noyau dans le cône peut s’exprimer ainsi : les vecteurs du noyau sont orthogonaux à tous les vecteurs, les vecteurs du cône sont orthogonaux à eux-mêmes. Il arrive que le cône isotrope ne contienne que le vecteur nul, on le verra dans le cas réel pour la forme quadratique associée à un produit scalaire, mais cela peut se produire dans d’autres cas.

Remarque 

Ce théorème permet de montrer que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. Il est cependant moins profond que tout les théorèmes qui concerne les endomorphismes. En tout cas, il est obtenu très facilement...

Réduction de Gauss d’une forme quadratique 

La méthode de Gauss permet, dans le cas d’une forme bilinéaire symétrique, d’obtenir de façon automatique (plus précisément algorithmique) une base orthogonale. Elle n’est que la systématisation de la méthode dite de la « forme canonique » pour les polynômes du second degré.

un parcours de mathématiques. Elle est composée de trois volumes, Intégration et probabilités, Algèbre et géométrie, Topologie et analyse, et elle couvre les notions généralement enseignées sur ces thèmes à ce niveau d’études. C’est en troisième année de licence que se constituent les bases à partir desquelles un étudiant pourra, soit aborder un master de mathématiques appliquées ou de mathématiques pures, soit préparer le CAPES de mathématiques. De nombreuses notions nouvelles sont abordées et il est indispensable que l’étudiant les fasse siennes, se les approprie.

résumé 
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Fondement de mathématique(logique) cliquez ici 

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Les éléments du Module
Chapitre1 : L’espace euclidien IRn                             cliquez ici
Chapitre2 : Géométrie élémentaire dans IR2 et IR3 cliquez ici
Chapitre3 : Nombres complexes                                  cliquez ici
Chapitre4 : Polynômes                                                 cliquez ici
Chapitre5 : Fractions rationnelles                              cliquez ici

Structure de corps 

Un corps est un anneau non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf 0, sont inversibles. Il est dit commutatif si l'anneau est commutatif. Dans cet ouvrage, tous les corps seront supposés commutatifs, sans avoir besoin de le préciser à chaque fois

CARDINAL D’UN ENSEMBLE 

On ne peut se contenter d’une définition circulaire comme « le cardinal d’un ensemble est son nombre d’éléments ». Depuis Cantor, on procède en gros de la façon suivante : on dit que deux ensembles sont équipotents s’il existe une bijection de l’un vers l’autre, et on conviendra que le cardinal d’un ensemble est la « classe » de tous les ensembles qui sont en bijection avec lui. Attention, on ne peut parler d’« ensemble de tous les ensembles » sans contradiction. C’est pour cela qu’on a employé le terme un peu vague de classe.

Théorème de Cantor-Bernstein 

Il n’est pas toujours facile de définir une bijection entre deux ensembles. Le théorème suivant, qui n’est pas complètement banal, permet de prouver que deux ensembles ont même cardinal

Bon ordre 

Autre vocabulaire, une relation d’ordre dans E est un bon ordre si on a la propriété : Toute partie non vide de E admet un plus petit élément. C’est le cas de N, qui sert un peu de modèle, et de ses sous-ensembles. Une première remarque

Théorème de Zermelo

Ce théorème est un peu surprenant, si on pense à des ensembles « grands » comme R, pour lequel l’ordre naturel n’est certes pas un bon ordre. En fait, ce théorème résulte d’un axiome que nous n’avons pas encore énoncé, et qui est nommé l’axiome du choix