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Anneaux factoriels
Rappelons que dans l’ensemble des entiers, tout nombre se décompose de façon unique en produit de nombres premiers. C’est ce qu’on appelle parfois le « théorème fondamental de l’arithmétique ». Les anneaux qui ont cette propriété s’appellent anneaux factoriels. Plus précisément :
Définition :Un anneau commutatif intègre est factoriel si tout élément non nul et non inversible se décompose de façon unique en produit d’irréductibles.
Théorème
Nous sommes maintenant au sommet de la hiérarchie : les anneaux pour lesquels le théorème fondamental de l’arithmétique est vrai sont les anneaux factoriels. Dans le chapitre suivant, on rencontrera des anneaux qui sont factoriels sans être principaux ; ainsi les trois notions anneaux euclidiens, anneaux principaux, anneaux factoriels sont bien distinctes.
Rang
À partir de ce paragraphe, nous nous limiterons au cas de la dimension finie. C’est dans le cours d’analyse que l’étude de la dimension infinie sera reprise. La bilinéarité d’une forme φ peut se formuler autrement. On définit les deux applications partielles
Matrice congruentes, formes congruentes
Comme dans le cas des applications linéaires ou des endomorphismes, on peut maintenant se poser un problème de classification des formes bilinéaires.
• Une forme bilinéaire est donnée : peut-on trouver une base dans laquelle l’écriture de la forme bilinéaire est particulièrement simple ?
• Comment reconnaître si deux matrices représentent (par rapport à deux bases) la même forme bilinéaire ?
• Quand deux formes bilinéaires ont-elles la même « signification » géométrique ?
Forme quadratique, cône isotrope
L’inclusion du noyau dans le cône peut s’exprimer ainsi : les vecteurs du noyau sont orthogonaux à tous les vecteurs, les vecteurs du cône sont orthogonaux à eux-mêmes. Il arrive que le cône isotrope ne contienne que le vecteur nul, on le verra dans le cas réel pour la forme quadratique associée à un produit scalaire, mais cela peut se produire dans d’autres cas.
Remarque
Ce théorème permet de montrer que toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. Il est cependant moins profond que tout les théorèmes qui concerne les endomorphismes. En tout cas, il est obtenu très facilement...
Réduction de Gauss d’une forme quadratique
La méthode de Gauss permet, dans le cas d’une forme bilinéaire symétrique, d’obtenir de façon automatique (plus précisément algorithmique) une base orthogonale. Elle n’est que la systématisation de la méthode dite de la « forme canonique » pour les polynômes du second degré.